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I. INTRODUCCIóN

Es muy comun encontrarse en la vida diaria con situaciones en las que se hace necesario adoptar la mejor decision posible. En particular , estos problemas abundan en las distintas ramas de la economia, la ingenieria y la tecnica. Asi por ejemplo, en la industria es frecuente enfrentar la exigencia de producir la mayor cantidad posible de productos con las minimas perdidas de material, o bien, de fabricar piezas que sean mas resistentes y al mismo tiempo mas ligeras, de reducir los gastos de produccion economizando no solamente la materia prima sino tambien combustibles, energia electrica, tiempo, mano de obra, etc…

Estos problemas, que se reducen a obtener un efecto maximo (maxima produccion, maxima resistencia, entre otros) o uno minimo (minimas perdidas, minimo peso, minimos costos), se conocen con el nombre de problemas de optimizacion (tambien se les llama “problemas sobre maximos y minimos” o “Problemas sobre extremos”)

La experiencia me ha mostrado que, al enfrentar situaciones de este tipo, recurrir a las matematicas resulta util y, en la mayoria de los casos, imprescindible.

El empleo de las matematicas en la resolucion de problemas de optimizacion se inicio hace cerca de veinticinco siglos. Por supuesto, al principio no hubo un enfoquee unico un su solucion. Fue solo hasta hace cerca de trescientos anios cuando se creo un metodo general que permitio resolver cuestiones de optimizacion de la mas diversa naturaleza, gracias a las aportaciones que durante siglos hicieron cientificos de todas las epocas, como Euclides, Arquimides, Apolonio, Heron , Tartaglia, Terricelli , Johann, y Jacob Bernoulli, Fermat, Barrow, Newton, Leibintz y muchos otros.

Este metodo general, contemplado con los conceptos que lesirven de sustento, se constituyo en una rama del conocimiento matematico a la qu ese le ha dado el nombre de “Calculo diferencial(italic)“.

El metodo del calculo diferencial resulto ser una poderosa herramienta para la resolucion de problemas de optimizacion de las mas variadas ramas de la ciencia y de la tecnica: ademas, proporciono una comprension mas profunda de la naturaleza y de las leyes que la rigen.

Por ejemplo, resulto que muchas de las leyes de la naturaleza pueden ser formuladas como problemas de optimizacion. Los sistemas mecanicos, la luz, la electricidad, los liquidos, los gases, etc… se comportan de un modo tal , que su accion minimiza o maximiza ciertas cantidades fisicas. Fermat encontro que la trayectoria de la refraccion de la luz, al propagarse de un punto a otre en un medio heterogeneo, es , precisamente , la que requiere el tiempo minimo.

La evolucion paulatina de la ciencia y de la tecnica, particularmente vertiginosa en el siglo XX, planteo una serie de nuevos problemas de optimizacion que, a pesar de su aparente simplicidad, no fue posible resolver con el metodo del calculo diferencial. La necesidad ded dar respuesta a estos problemas condujo a la creacion de nuevas ramas de las matematicas, como el calculo variacional, la programacion lineal, el analisis convexo y la teoria de la direccion optima.

Como puede observarse, existen problemas de optimizacion con diferentes niveles de complejidad, a cada uno de los cuales le corresponde un metodo especifico de solucion y su respectiva teoria matematica. En nuestro curso solo analizaremos el metodo de solucion de los problemas elementales de optimizacion , cuya teoria es el calculo diferencial.

A pesar de esto, el calificativo de “elementales” no es sinonimo de “faciles” o de “poco interesantes”; como veremos, entre tales problemas habra no solo algunos importantes desde le punto de vista de su sentido practico, sino tambien unos cuantos con cierto grado de complejidad.

El proposito escencial de este curso es que le sirva a los estudiantes para aprender a resolver problemas elementales de optimizacion y para asimilar el metodo de resolucion de estos problemas.